卒業生からの質問

午前中にさっさと仕事をすませて、昼から休みをとって、移動開始です。
移動中、卒業生から「子どもから数学の質問受けたけどわからない」というLINEが来てたのを思い出して、解説をLINEで送ったけど、やはり文章で解説するのはたいへんでした(笑)。

53番ね
余事象の確率のことはわかってると思うのですよ。で、たぶんわからないのが「増加」とか「減少」のところなんだと思うのですが、あれは厳密さを出すために入れているだけです。
本来はあの部分は2年生になってやる指数関数の分野なので、別に厳密にわからなくてもいいです。
直感的に
「3枚だったら1-1/8で、小数に直したらまだ0.9になってないけど、4枚だったら1-1/16で小数にすると0.9越したから、4枚だね」
ってことがわかれば十分です。

54番ね
(1)は
例えば6回くじを引いた時に終わるのって、はじめ5回はあたり2回ではずれ3回になって、6回目にあたりがでるからそれで終了になりますよね。
てことは、n回目だと、n-1回目までは2回あたりで残りn-3回ははずれて(ここまでは反復試行の確率)n回目はあたり(これを積の法則でかける)で終了になります。

問題は(2)ですね。
これは難しいと思います。というよりも、知ってないとできません。
(1)で、とりあえず、n回は求めました。
で、n+1回ーn回の計算をしてみるんです。
こんなことなぜやるかというと、n回の方が大きいところから、n回の方が小さくなるところがあるんです。n(回数)を横軸にP(n)確率を縦軸にとると、グラフは山型になることがわかっているんです。で、その山のてっぺんをもとめようということです。
そのために、n+1回ーn回の計算をして、n+1回が大きい(つまり計算結果が+)になるところからn+1回が小さい(つまり計算結果がー)になるところを探そうというわけです。
それがP(n+1)ーP(n)の計算です。
計算の途中はCが絡んでくるのでわかりにくいかもしれませんが、まぁ、あんなもんです。
で、最終的にCの計算はどのみちプラスだし、n乗の計算もプラスなので、残りの10-nで符号は決まります。
で、ちょうどn=10の時に0になります。ということは、11回の時と10回の時が同じということです。つまり、先ほどの山型のグラフは
  __
 /  \
/    \
みたいな形でてっぺんが平坦で、その時が10回の時と11回の時になりますよ。
ということです。

最大を求める時の手法として、例えば2次関数の最大を求める時のようなものもあるけど、確率みたいに離散的な数字(1,2,3,…みたいな)の時は、今みたいに隣同士で引き算をして符号が変わるところを見つけたり、隣同士で割り算をして1より大きいところからで1より小さくなるところを探したりする手法がもちいられることもありますよ
ってことが、Chart Solutionのところに書いてあります。

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